证明一个函数有界通常需要根据函数的定义和性质进行推导和分析。以下是证明函数有界性的几个常见方法：
使用数学定义
如果存在两个常数 \（A\） 和 \（B\），使得对所有 \（x\） 属于函数的定义域 \（D\），都有 \（A \leq f（x） \leq B\），则函数 \（f（x）\） 在 \（D\） 内是有界的。
分析导数
对于连续函数，如果导数存在上限和下限，则原函数通常也是有界的。
利用极限
如果函数在无穷远处的极限存在且有限，则函数通常是有界的。例如，如果 \（\lim_{x \to \infty} f（x） = L\），则函数在 \（-\infty, \infty\） 范围内通常是有界的。
使用数学工具
对于特定类型的函数，如三角函数，可以使用其性质来确定其周期性和有界性。
连续函数在闭区间上
如果函数在闭区间上连续，则函数在该区间上有界。
有界函数的运算规则
有界函数与有界函数的和、差、积是有界的。
特殊函数例子
例如，函数 \（f（x） = \frac{1}{1 + x^2}\） 在 \（\mathbb{R}\） 上是有界的，因为其值始终在 \（[0, 1）\） 区间内。
请根据具体的函数和情况，选择合适的方法进行证明。