证明极限不存在的方法有多种，以下是一些常见的方法：
直接计算法
通过直接代入$x$的极限值来观察函数值是否趋于一个确定的数。如果函数值不趋于一个确定的数，则极限不存在。
反证法
假设极限存在，并选择一个合适的$\epsilon$，然后在$x$的某个邻域内找到一个点使得函数值与假设的极限值之差的绝对值小于$\epsilon$，从而推导出矛盾，证明极限不存在。
夹逼定理
如果能找到一个函数$g（x）$使得对于所有$x$都满足$h（x） \leq f（x） \leq g（x）$，并且$\lim_{x \to a} g（x） = \lim_{x \to a} h（x） = L$，则$\lim_{x \to a} f（x） = L$。如果找不到这样的函数，或者左右极限不相等，则极限不存在。
无穷大量法
如果当$x$趋于某个值时，函数的分子或分母趋于无穷大，而另一个不是无穷小，则极限不存在。
左右极限法
分别计算函数在$x$趋于某一点时的左极限和右极限。如果左极限和右极限不相等，则极限不存在。
归结原则
如果一个极限的子序列的极限存在且相等，则原序列的极限也存在且相等。反之，如果存在某个子序列的极限不存在，则原序列的极限也不存在。
特殊值法
通过选择特定的$x$值来观察函数行为，例如$x=0$时，某些函数的极限可能不存在，如$\sin（1/x）$在$x=0$附近的行为。
示例
示例1：证明$\lim_{x \to 0} \sin（1/x）$不存在。
假设极限存在 ，设$\lim_{x \to 0} \sin（1/x） = L$。选择$\epsilon = 1/2$
，在$x=0$的任意小的邻域内，总存在整数$n$，使得$x_1（n） = 1/（2n\pi + \pi/2） \in X$和$x_2（n） = 1/（2n\pi - \pi/2） \in X$。
计算
$\sin[1/x_1（n）] = 1$，所以$|1 - L| < 1/2$。
$\sin[1/x_2（n）] = -1$，所以$|-1 - L| < 1/2$。
推导矛盾
从$|1 - L| < 1/2$和$|-1 - L| < 1/2$，我们得到$|1 - L| + |-1 - L| \geq |（1 - L） - （-1 - L）| = 2$，这与假设矛盾。
结论：
$\lim_{x \to 0} \sin（1/x）$不存在。
通过这些方法，可以有效地证明某些极限不存在。选择哪种方法取决于具体问题的性质和所给条件。