特征向量是线性代数中的一个重要概念，它表示在某个线性变换下只发生伸缩而不改变方向的向量。以下是求特征向量的步骤和例题：
步骤：
确定矩阵 ：首先确定你要计算特征向量的矩阵 \（ A \）。求特征值：
计算矩阵 \（ A \） 的特征值，这可以通过解方程 \（ \det（A - \lambda I） = 0 \） 来实现，其中 \（ I \） 是单位矩阵，\（ \det \） 表示行列式。
求特征向量：
对于每个特征值 \（ \lambda \），解方程组 \（ （A - \lambda I） \mathbf{x} = 0 \） 来找到对应的特征向量 \（ \mathbf{x} \）。
单位化：
如果特征向量不是单位向量，则将其归一化，使其成为单位向量。
例题：
假设有一个 \（ 2 \times 2 \） 的矩阵 \（ A \）：
\[ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]
要求出矩阵 \（ A \） 的特征向量。
求特征值
计算特征多项式 \（ \det（A - \lambda I） = 0 \）：
\[ \det \left（ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right） = \det \begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = （3-\lambda）（2-\lambda） - 1 \times 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 5 \]
解方程 \（ \lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0 \） 得到特征值。
求特征向量
对于每个特征值 \（ \lambda \），解方程组 \（ （A - \lambda I） \mathbf{x} = 0 \）。
假设特征值为 \（ \lambda_1 \） 和 \（ \lambda_2 \），对应的特征向量分别为 \（ \mathbf{x}_1 \） 和 \（ \mathbf{x}_2 \）。
例如，如果特征值之一为 \（ \lambda_1 = 4 \），则解方程组：
\[ \begin{bmatrix} 3-4 & 1 \\ 1 & 2-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \（ \mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \）。
单位化
如果特征向量不是单位向量，则进行归一化处理。
例如，如果特征向量 \（ \mathbf{x}_1 \） 不是单位向量，则可以通过除以其模长来单位化：
\[ \mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{x}_1}{\|\mathbf{x}_1\|} \]
其中 \（ \|\mathbf{x}_1\| \） 是向量 \（ \mathbf{x}_1 \） 的模长。
通过以上步骤，你可以求出给定矩阵的特征向量。