私自抱养的孩子上户口需要遵循以下步骤和条件：
办理收养登记
需要到弃婴发生地的县（市）民政部门办理收养登记。
提供必要的材料，如收养人的户口簿、身份证、婚姻状况证明、有无子女和抚养教育能力证明等。
提交户口登记申请
由收养人持本人户口簿、身份证及孩子的相关收养证明文件到养父母户口所在地的公安户籍管理部门办理户口登记。
等待审批
公安部门在接到上报材料后，会在规定时间内作出批准或不批准的决定。
户口登记
批准后，收养人户口所在地的公安派出所将依据《收养证》和公安局户政部门的批件办理户口登记手续。
特殊情况处理
如果不符合收养相关规定，公安机关可能会告知抚养（助养）人按规定到本地社会福利机构登记集体户口。
请注意，以上流程和条件可能因地区而异，建议咨询当地民政部门或公安部门获取最新信息。