领导司机可能通过以下方式捞取“油水”：
利用领导影响力：
司机可能利用与领导的密切关系，为请托方提供便利，如帮助处理违规行为，并从中收取好处费。
提供信息：
司机可能成为权力延伸的桥梁，传递信息，甚至打探领导的私事，以此获得某些利益。
公车私用：
以前管理不规范时，公车可能被用于办理私事，司机可能从中获得私利。
收礼送礼：
司机可能接受下属单位或其他人员送的礼品、购物卡、茶叶等。
其他隐形福利：
司机可能从陪同领导出差或参加活动中收取所谓的“车马费”，或在处理领导私事时获得额外利益。
请注意，这些行为可能违反法律和职业道德规范。