要求一个矩阵 \（ A \） 的伴随矩阵 \（ A^* \），可以使用以下步骤：
计算代数余子式
对于 \（ A \） 中的每一个元素 \（ a_{ij} \）（其中 \（ i, j = 1, 2, \ldots, n \）），计算其代数余子式 \（ A_{ij} \）。
代数余子式 \（ A_{ij} \） 是去掉 \（ a_{ij} \） 所在的第 \（ i \） 行和第 \（ j \） 列后得到的 \（ （n-1） \times （n-1） \） 阶行列式，再乘以 \（ （-1）^{i+j} \）。
构造伴随矩阵
将计算得到的代数余子式按照原矩阵的排列顺序构成一个新的矩阵，即 \（ A^* \）。
对于 \（ n \） 阶矩阵，伴随矩阵 \（ A^* \） 的第 \（ i \） 行第 \（ j \） 列元素是 \（ A_{ji} \）（注意这里 \（ i \） 和 \（ j \） 是对称的，即 \（ A_{ij} = A_{ji} \））。
示例
假设 \（ A \） 是一个 \（ 2 \times 2 \） 矩阵：
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
则 \（ A \） 的伴随矩阵 \（ A^* \） 为：
\[ A^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
公式
更简洁地，可以使用公式：
\[ A^* = \frac{1}{|A|} \text{adj}（A） \]
其中 \（ |A| \） 是矩阵 \（ A \） 的行列式，而 \（ \text{adj}（A） \） 是 \（ A \） 的伴随矩阵。
注意
当矩阵 \（ A \） 是 \（ n \） 阶方阵且可逆时，有 \（ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* \）。
如果矩阵 \（ A \） 不可逆（即行列式 \（ |A| = 0 \）），则其伴随矩阵 \（ A^* \） 也为零矩阵。
这些步骤和公式可以帮助你快速求出任何阶数的矩阵的伴随矩阵。