函数可导性的证明通常包括以下几个步骤：
判断函数在该点是否有定义
函数在点 \（ x_0 \） 处必须有定义，即 \（ f（x_0） \） 存在。
判断函数在该点是否连续
函数在点 \（ x_0 \） 处连续，即 \（ f（x_0^-） = f（x_0^+） = f（x_0） \）。
计算左右导数
计算函数在点 \（ x_0 \） 处的左导数 \（ f'（x_0^-） \） 和右导数 \（ f'（x_0^+） \）。
如果左导数和右导数都存在且相等，即 \（ f'（x_0^-） = f'（x_0^+） \），则函数在该点可导。
利用导数的定义
根据导数的定义，如果函数在点 \（ x_0 \） 处的极限 \（\lim_{h \to 0} \frac{f（x_0 + h） - f（x_0）}{h}\） 存在，则函数在该点可导。
具体证明方法
方法一：根据导数的定义
设函数 \（ f（x） \） 在点 \（ x_0 \） 处可导，则根据导数的定义，极限
\[
f'（x_0） = \lim_{h \to 0} \frac{f（x_0 + h） - f（x_0）}{h}
\]
必须存在。
方法二：根据导数的四则运算规则
如果 \（ f（x） \） 和 \（ g（x） \） 在点 \（ x_0 \） 处可导，则它们的和、差、积、商（除数不为零）在点 \（ x_0 \） 处也可导，并且有如下规则：
\[
（f（x） + g（x））' = f'（x） + g'（x）
\]
\[
（f（x） - g（x））' = f'（x） - g'（x）
\]
\[
（f（x）g（x））' = f'（x）g（x） + f（x）g'（x）
\]
\[
\left（\frac{f（x）}{g（x）}\right）' = \frac{f'（x）g（x） - f（x）g'（x）}{g（x）^2}
\]
方法三：复合函数的可导性
如果 \（ f（x） \） 和 \（ g（x） \） 在区间上可导，且 \（ y = f（g（x）） \），则 \（ y \） 在 \（ g（x） \） 的反函数 \（ x = g^{-1}（y） \） 处也可导，并且有：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\]
例子
假设我们要证明函数 \（ f（x） = x^2 \sin（\frac{1}{x}） \） 在 \（ x = 0 \） 处是否可导。
定义和连续性
函数 \（ f（x） \） 在 \（ x = 0 \） 处有定义，且 \（ f（0） = 0 \）。
函数在 \（ x = 0 \） 处连续，因为 \（ \lim_{x \to 0} x^2 \sin（\frac{1}{x}） = 0 \）。
计算左右导数
左导数 \（ f'_{-}（0） \）：
\[
f'_{-}（0） = \lim_{h \to 0^-} \frac{f（0 + h） - f（0）}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 \sin（\frac{1}{h}）}{h} = \lim_{h \to 0^-} h \sin（\frac{1}{h}） = 0
\]
右导数 \（ f'_{+}（0） \）：
\[
f'_{+}（0） = \lim_{h \to 0^+} \frac{f（0 + h） - f（0）}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 \sin（\frac{1}{h}）}{h} = \lim_{h \to 0^+} h \sin（\frac{1}{h}） = 0