根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，刑事拘留后，犯罪嫌疑人或被告人可以在以下情况下申请取保候审：
24小时后开始申请：
公安机关在拘留犯罪嫌疑人后，有权在24小时内进行讯问，因此，取保候审的申请通常应在被拘留的24小时之后进行。
最佳申请时期：
在实际操作中，被刑事拘留后办理取保候审的最佳时期通常是被刑拘后的七天内和三十七天内。
最长不超过12个月：
依据《刑事诉讼法》第七十九条的规定，对犯罪嫌疑人、被告人进行取保候审，最长不得超过12个月。
特殊情况下的延长：
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，刑事拘留的期限可以延长至37日。
检察院审查批准：
公安机关认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内提请人民检察院审查批准，特殊情况下可以延长至30日。
无逮捕必要时的变更：
如果人民检察院在接到公安机关提请批准逮捕书后的七日内作出不批准逮捕的决定，且需要继续侦查，可以依法对嫌疑人进行取保或监视居住。
需要注意的是，申请取保候审需要满足一定的条件，如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的犯罪嫌疑人或被告人，并可能需要提供保证人或交纳保证金。