证明极限存在的方法主要包括：
定义法
利用极限的定义，对于数列或函数，找到一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当自变量x满足不等式|x-L|<ε时，函数值f（x）无限接近于L。
夹逼定理
如果存在函数f（x），g（x），h（x），满足g（x）≤f（x）≤h（x），且lim g（x）=lim h（x）=A，则lim f（x）=A。
单调有界定理
如果一个数列是单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必有极限。
极限的性质
利用函数的连续性、有界性等性质来证明极限的存在性。
局部性质法
如果函数的局部性质可以推出函数的极限，则该极限存在。
柯西收敛准则
如果一个数列的各项极限存在，则该数列收敛。
反证法
假设极限不存在，然后推导出矛盾，从而证明极限存在。
利用已知极限
如果可以利用已知的极限来证明某些数列或函数的极限，则可以利用这些已知极限。
洛必达法则
适用于可导函数的极限问题，通过求导来判断极限存在性。
带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
用于求解三角函数的极限问题。
泰勒公式
通过泰勒级数展开来求解函数的极限。
证明极限时，通常需要考虑左右极限，极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。如果左右极限不相等或者其中之一不存在，则极限不存在。
以上方法可以单独使用，也可以结合使用，以适应不同的极限问题。需要注意的是，在证明过程中，要确保所使用的数学工具和推导过程是严谨的，以得出正确的结论