根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，刑事拘留后，犯罪嫌疑人可以在以下时间节点考虑申请取保候审：
24小时后开始申请：
公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。超过24小时未释放，可能意味着已被拘留，此时可以考虑申请取保候审。
7天内和37天内：
在实际操作中，被刑事拘留后办理取保候审的最佳时期通常是在被刑拘后的七天内和三十七天内。
审查逮捕阶段的第三、四天：
案件移送检察院后，审查逮捕的决定时间仅为7天。建议在第三、四天递交取保申请，效果较好。
37天后：
如果刑事拘留期满后未被批捕，并且案件需要继续侦查，可以变更强制措施，进行取保候审。
最长不超过12个月：
依据《刑事诉讼法》第七十九条的规定，对犯罪嫌疑人、被告人进行取保候审，最长不得超过十二个月。
申请取保候审需要满足一定的条件，如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的犯罪嫌疑人或被告人，可能判处有期徒刑以上刑罚但采取取保候审不致发生社会危险性的，患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，以及羁押期限届满，案件尚未办结的情况。
需要注意的是，具体能否取保候审以及取保候审的具体程序，还需结合实际案件情况和办案机关的具体决定。