二重积分的计算可以通过多种方法，主要思路是将二重积分转化为累次积分，即先对一个变量积分，再对另一个变量积分。以下是一些常用的计算方法和步骤：
确定积分区域
首先明确积分的平面区域，通常可以用一个闭合区域表示，如矩形、三角形、梯形等。
选择积分顺序
根据具体情况选择积分的顺序，可以是先对x积分再对y积分（先x后y），也可以是先对y积分再对x积分（先y后x）。
设定积分限
根据积分区域的几何特征确定积分的上下限。例如，若先对x积分，则上限为区域在x轴上的最大值，下限为最小值；若先对y积分，则上限为区域在y轴上的最大值，下限为最小值。
利用对称性和奇偶性
如果积分区域或函数具有对称性，可以利用对称性简化计算。例如，若区域关于x轴对称，且被积函数为偶函数，则可以只计算一半区域的积分并乘以2。
变量替换
通过变量替换（如极坐标替换）可以将二重积分转化为更容易计算的形式。例如，当被积函数出现$x^2 + y^2$时，使用极坐标可以简化计算。
几何意义化简
有时可以通过几何直观来简化积分计算，例如将曲面或体积问题转化为平面区域的问题。
分域法
对于复杂的积分区域，可以将区域分成若干子区域分别进行积分，然后再将结果相加。
交换积分次序
根据积分区域的特点，可以交换积分的次序，这可能会使计算变得更简单。
示例
以计算二重积分 $\iint_D x^2 y \, d\sigma$ 为例，其中 $D$ 是由曲线 $y = -x^2 + 1$ 与x轴围成的图形。
确定积分区域
积分区域 $D$ 是由 $y = -x^2 + 1$ 和 $x$ 轴围成的区域，即 $0 \leq y \leq -x^2 + 1$，$-1 \leq x \leq 1$。
选择积分顺序
先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。
设定积分限
对 $y$ 积分的上下限为 $0$ 到 $-x^2 + 1$。
对 $x$ 积分的上下限为 $-1$ 到 $1$。
计算二次积分
$$
\iint_D x^2 y \, d\sigma = \int_{-1}^{1} \left（ \int_{0}^{-x^2 + 1} x^2 y \, dy \right） dx
$$
计算内层积分
$$
\int_{0}^{-x^2 + 1} x^2 y \, dy = x^2 \int_{0}^{-x^2 + 1} y \, dy = x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{-x^2 + 1} = x^2 \left（ \frac{（-x^2 + 1）^2}{2} - 0 \right） = x^2 \left（ \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{2} \right） = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{2} x^2
$$
计算外层积分
$$
\int_{-1}^{1} \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{2} x^2 \, dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} （x^6 - 2x^4 + x^2） \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^7}{7} - \frac{2x^5}{5} + \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \left（ \left（ \frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \right） - \left（ -\frac{1}{7} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3