证明等腰三角形的三线合一，即证明等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条线互相重合，可以通过以下步骤进行：
已知条件 ：设三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC，AD为底边BC上的中线。证明过程
由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，底角∠B=∠C。
AD作为中线，根据等腰三角形的中线性质，AD平分底边BC，即BD=DC。
在ΔABD和ΔADC中，由于AB=AC，AD=AD（公共边），BD=DC，根据SSS（Side-Side-Side）全等条件，ΔABD≌ΔADC。
由于两个三角形全等，对应角相等，即∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC。
又因为在ΔABD和ΔADC中，∠ADB+∠ADC=∠BDC，且∠BDC=180°（直线上的角度和）。
由于∠ADB=∠ADC，则∠ADB=∠ADC=90°。
因此，AD不仅是中线，也是高线，并且平分顶角，证明了三线合一。
结论：
在等腰三角形中，如果一条边上的中线、高线和顶角的角平分线重合，则证明了这个三角形是等腰三角形，并且这三条线互相重合。
以上步骤展示了如何通过几何证明来验证等腰三角形的三线合一性质