联合概率密度函数（Joint Probability Density Function, JPDF）是概率论中的一个重要概念，用于描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。以下是求联合概率密度函数的基本方法：
独立随机变量
如果随机变量X和Y相互独立，那么它们的联合概率密度函数等于各自边缘概率密度函数的乘积，即：
$$f_{X,Y}（x,y） = f_X（x） \cdot f_Y（y）$$
其中，$f_X（x）$ 和 $f_Y（y）$ 分别是X和Y的边缘概率密度函数。
非独立随机变量
如果随机变量X和Y不独立，那么不能简单地通过边缘密度函数相乘来得到联合密度函数。在这种情况下，需要知道条件概率密度函数 $f_{X,Y}（x,y|x_0,y_0）$，其中 $（x_0, y_0）$ 是给定的条件。
一般情况
对于一般的二维随机变量 $（X, Y）$，联合概率密度函数 $f_{X,Y}（x,y）$ 可以通过二重积分来求得：
$$f_{X,Y}（x,y） = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f（x,y） \, dx \, dy$$
其中，积分的范围是整个定义域。
性质
联合概率密度函数需要满足以下性质：
对于所有的x和y，$f_{X,Y}（x,y） \geq 0$。
其积分（在整个定义域上）等于1：
$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}（x,y） \, dx \, dy = 1$$
边缘概率密度函数
如果已知联合概率密度函数 $f_{X,Y}（x,y）$，可以通过对其中一个变量积分来求得另一个变量的边缘概率密度函数：
$$f_X（x） = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}（x,y） \, dy$$
$$f_Y（y） = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}（x,y） \, dx$$
请根据具体情况选择合适的方法来求解联合概率密度函数。