要证明一个函数在某点连续，需要满足以下三个条件：
1. 函数在该点有定义。
2. 当x趋近于该点时，函数的极限存在。
3. 函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
用数学语言表示，如果函数f在点x0的某个邻域内有定义，并且满足：
```
lim（x->x0） f（x） = f（x0）
```
则称函数f在点x0连续。
证明函数连续的方法主要有：
ε-δ定义法：通过给定任意小的正数ε，找到相应的正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，有|f（x） - f（x0）| < ε，从而证明极限存在且等于函数值。
图像法：画出函数的图像，观察图像是否在某点连续不断。
解析法：通过函数的解析表达式，直接计算极限值并比较它与函数值是否相等。
极值定理：如果函数在某区间内可导，则函数在该区间内连续。
以上是证明函数连续的基本方法。对于更复杂的情况，如分段函数或多元函数的连续性证明，可能需要采用其他特定的数学工具和技术