要判断一个映射 \（ T \） 是否为线性变换，需要验证它是否满足以下两个条件：
加法不变性 ：对于任意的向量 \（ x, y \in V \），有 \（ T（x + y） = T（x） + T（y） \）。数乘不变性：
对于任意的向量 \（ x \in V \） 和任意实数 \（ a \），有 \（ T（a x） = a T（x） \）。
这两个条件合起来，可以表述为：
\[ T（a x + b y） = a T（x） + b T（y） \]
验证步骤
验证加法不变性
取任意两个向量 \（ x \） 和 \（ y \） 在向量空间 \（ V \） 中。
计算 \（ T（x + y） \） 和 \（ T（x） + T（y） \）。
如果 \（ T（x + y） = T（x） + T（y） \），则加法不变性成立。
验证数乘不变性
取任意向量 \（ x \） 在向量空间 \（ V \） 中和任意实数 \（ a \）。
计算 \（ T（a x） \） 和 \（ a T（x） \）。
如果 \（ T（a x） = a T（x） \），则数乘不变性成立。
例子
恒等变换
对任意向量 \（ x \），恒等变换 \（ I（x） = x \）。
验证： \（ I（ax + by） = ax + by = a I（x） + b I（y） \），满足线性变换的条件。
旋转变换
设 \（ R（\theta） \） 是旋转矩阵，对任意向量 \（ x \），有 \（ R（\theta）（x） = R（\theta） x \）。
验证： \（ R（\theta）（ax + by） = R（\theta）（ax） + R（\theta）（by） = a R（\theta）（x） + b R（\theta）（y） \），满足线性变换的条件。
缩放变换
设 \（ S（k） \） 是缩放矩阵，对任意向量 \（ x \），有 \（ S（k）（x） = k x \）。
验证： \（ S（k）（ax + by） = k （ax + by） = k ax + k by = a k x + b k y = a S（k）（x） + b S（k）（y） \），满足线性变换的条件。
结论
如果一个映射 \（ T \） 同时满足上述两个条件，则它是一个线性变换。否则，它是一个非线性变换。
建议
在实际应用中，可以通过矩阵表示来简化验证过程。如果变换 \（ T \） 对应的矩阵 \（ A \） 满足以下两个条件：
1. \（ A（x + y） = A x + A y \）
2. \（ A（a x） = a A x \）
则矩阵 \（ A \） 表示的变换是线性的。