从福冈到别府的交通方式及所需时间如下：
乘坐JR音速号
从博多站乘坐JR音速号直达别府，全程约需2小时。
乘坐高速巴士
从福冈机场乘坐高速巴士到别府北浜，最晚是八点发车，票价为3190日元，车程约为125分钟。
乘坐铁路和巴士组合
从福冈机场乘坐免费接驳巴士到国内线航站楼，然后乘坐地铁福冈机场站到博多站，再换乘JR特快“Sonic”到达别府站，所需时间不到4小时，包括特快费在内，费用为5940日元。
根据以上信息，乘坐JR音速号或高速巴士是较为便捷和常用的方式，所需时间分别为2小时和约125分钟。如果选择从福冈机场出发，乘坐JR特快“Sonic”结合地铁和免费接驳巴士的方式，虽然总时间稍长，但费用较低，且行程安排更为灵活。
建议根据具体时间和预算选择合适的交通方式。如果追求速度，建议选择JR音速号；如果希望节省费用，乘坐高速巴士也是一个不错的选择。