向量组等价的定义是：如果两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。因此，证明两个向量组等价的方法主要有以下几种：
证明三秩相等
设向量组A: \（a_1, a_2, \ldots, a_m\） 与向量组B: \（b_1, b_2, \ldots, b_n\）；
欲证明向量组A与向量组B等价，只需证明 \（\text{rank}（A） = \text{rank}（B） = \text{rank}（A,B）\），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵，\（\text{rank}（A）\）表示矩阵A的秩，\（\text{rank}（B）\）表示矩阵B的秩，\（\text{rank}（A,B）\）表示增广矩阵（A,B）的秩。
证明互相线性表示
如果两个向量组可以互相线性表示，即存在一组数 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\），使得对任意 \（i = 1, 2, \ldots, n\），有 \（a_1 \cdot A_1 + a_2 \cdot A_2 + \ldots + a_n \cdot A_n = b_1 \cdot B_1 + b_2 \cdot B_2 + \ldots + b_n \cdot B_n\），则称这两个向量组等价。
证明一个向量组可由另一个向量组线性表示，并且秩相等
如果向量组A可由向量组B线性表示，且 \（\text{rank}（A） = \text{rank}（B）\），则A与B等价。
例子
假设有两个向量组：
向量组A: \（（1, 0, 0）, （0, 1, 0）\）
向量组B: \（（1, 0, 0）, （0, 0, 1）\）
这两个向量组的秩都是2，但它们不能互相线性表示，因此它们不等价。具体来说：
向量组A中的向量 \（（1, 0, 0）\） 不能由向量组B线性表示，因为B中不存在只有 \（（1, 0, 0）\） 的线性组合。
向量组B中的向量 \（（0, 0, 1）\） 不能由向量组A线性表示，因为A中不存在只有 \（（0, 0, 1）\） 的线性组合。
总结
证明两个向量组等价的关键在于证明它们可以互相线性表示，或者证明它们的秩相等且可以通过线性组合相互表示。这些方法都可以从不同的角度验证向量组的等价性。