根据提供的信息，3号杯子是最先装满水的。以下是推理过程：
1. 3号杯子的进水口低于2号杯子，但高于4号和5号杯子。
2. 当水从1号杯子流向2号和3号杯子时，2号杯子到6号杯子之间的管道是不通的，因此2号杯子无法接收来自1号杯子的水。
3. 同时，3号杯子到4号和5号杯子的管道也是不通的，所以水不能流向4号和5号杯子。
4. 7号杯子底部是漏水的，所以也无法装满水。
5. 综上，唯一可能装满水的杯子是3号杯子，因为它既接收了来自1号杯子的水，又没有被其他杯子或管道阻塞。
因此，答案是3号杯子最先装满水