积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它分为积分第一中值定理和积分第二中值定理。以下是这两个定理的概述：
积分第一中值定理
如果函数 \（ f \） 在闭区间 \（[a, b]\） 上连续，则至少存在一点 \（ \xi \in [a, b] \），使得：
\[ \int_{a}^{b} f（x） \, dx = f（\xi）（b - a） \]
积分第二中值定理
如果函数 \（ f \） 在闭区间 \（[a, b]\） 上可积，且函数 \（ g \） 在 \（[a, b]\） 上非负且单调递减（或递增），则至少存在一点 \（ c \in [a, b] \），使得：
1. 若 \（ g \） 单调递减，则：
\[ \int_{a}^{b} f（x）g（x） \, dx = g（a） \int_{a}^{c} f（x） \, dx \]
2. 若 \（ g \） 单调递增，则：
\[ \int_{a}^{b} f（x）g（x） \, dx = g（b） \int_{c}^{b} f（x） \, dx \]
推论
如果函数 \（ f \） 在 \（[a, b]\） 上可积，且 \（ g \） 是单调函数，则存在一点 \（ c \in [a, b] \），使得：
\[ \int_{a}^{b} f（x）g（x） \, dx = g（a） \int_{a}^{c} f（x） \, dx + g（b） \int_{c}^{b} f（x） \, dx \]
积分中值定理在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面有着广泛的应用。它提供了一种将积分问题简化为函数值问题的方法