经过分析，可以确定 3号杯子是最先装满水的杯子。以下是详细的解释：
题目分析
题目描述了一个水流通过多个杯子的情况，其中一些杯子之间通过管道连接，而有些则存在障碍或漏洞。
关键在于分析水流如何从一个杯子流向另一个杯子，并考虑哪些杯子最终能够装满水。
排除法
1号杯子：虽然1号杯子中间有两个开口，但这并不意味着它会最先装满水。实际上，由于其他杯子之间的连接和障碍，1号杯子不太可能先装满水。
2号杯子：2号杯子在流到7号杯子的过程中，7号杯子的底部是漏水的，因此2号杯子也无法装满水。
4号杯子：4号杯子在3号杯子的导管是密闭的，所以它永远都不会满。
5号杯子：5号杯子与3号杯子的连接被堵住了，因此它也无法装满水。
6号杯子：6号杯子的导管是不通的，所以它永远都不会满。
7号杯子：7号杯子的底部是漏水的，因此它也无法装满水。
结论
综合以上分析，唯一可能先装满水的杯子是3号杯子。水流从1号杯子流到2号和3号杯子，由于2号杯子到6号杯子之间的导管是不通的，水流被阻断，而3号杯子在流到4号杯子的过程中，4号杯子的导管是密闭的，水流继续流向5号杯子，但5号杯子的导管被堵住，最终水流只能流回1号杯子或继续流向3号杯子，但由于3号杯子没有其他障碍，它最终会装满水。
因此，答案是 3号杯子。