根据中国刑法的相关规定，故意杀人自首的犯罪分子，是否判处死刑取决于案件的具体情节。以下是相关法律规定及判决结果的概述：
基本法律规定
根据《刑法》第二百三十二条，故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑；情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。
根据《刑法》第六十七条，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。
判决结果考量
如果犯罪手段极其恶劣、情节极其严重、社会危害性极大，即使自首，也可能不会从轻或者减轻处罚，仍可能判处死刑。
如果案件情节不是特别恶劣，自首的犯罪分子通常可以从轻或者减轻处罚，一般不会判处死刑（立即执行）。
特殊情况
在某些情况下，即使有自首情节，但因犯罪行为的恶劣程度，如手段残忍或有其他严重后果，也可能判决死刑。
综上所述，故意杀人自首不一定会判死刑，具体判决结果需要根据案件的具体情节和法院的审理结果来确定。