求幂级数的收敛半径通常有以下几种方法：
比值测试（Ratio Test）
假设幂级数的通项为 $a_n$，则收敛半径 $R$ 可以通过极限
$$ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \right| $$
来求得。
根值测试（Root Test）
同样基于通项 $a_n$，收敛半径 $R$ 可以通过极限
$$ R = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} $$
来求得。
达朗贝尔审敛法（D'Alembert's Ratio Test）
使用比值
$$ \rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $$
如果 $\rho < 1$，则级数收敛；
如果 $\rho > 1$，则级数发散；
如果 $\rho = 1$，则测试不确定，需要其他方法判断。
柯西-阿达玛公式（Cauchy-Hadamard Formula）
直接通过级数的系数计算收敛半径
$$ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} $$
其中，$\limsup$ 表示上极限。
直接比较法
对于某些特殊形式的幂级数，可以直接通过比较已知收敛或发散的级数来确定收敛半径。
反演法（Inverse Method）
当端点存在发散情况时，可以通过反演积分余项的方法来判断收敛域。
以上方法中，柯西-阿达玛公式是最直接的一种，而比值测试和根值测试在理论计算上更为常用。在实际应用中，可能需要结合多种方法来确定收敛半径。
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