证明向量组线性无关的方法有多种，以下是一些常用的方法：
定义法
线性无关的定义是：若向量组的线性组合仅当所有系数都为零时才能为零向量，则称该向量组线性无关。即，若存在不全为零的系数 \（ c_1, c_2, \ldots, c_n \） 使得 \（ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \ldots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \），则向量组线性相关；反之，若只有当 \（ c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0 \） 时上式成立，则向量组线性无关。
矩阵秩法
将向量组表示为矩阵的列向量，通过初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵（行阶梯形矩阵或行最简形矩阵）。如果矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关；否则，向量组线性相关。
行列式法
对于方阵，如果其行列式不为零，则该方阵对应的向量组线性无关。因为行列式为零意味着矩阵的列向量线性相关，从而向量组也线性相关。
线性方程组法
将向量组的线性组合表示为线性方程组，如果该方程组只有零解，则向量组线性无关。这可以通过高斯消元法或克莱姆法则来验证。
特征值法
对于方阵，如果其所有特征值都不为零，则对应的特征向量线性无关，从而整个向量组线性无关。特别地，实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交且线性无关。
反证法
假设向量组线性相关，则存在不全为零的系数使得线性组合为零向量。通过推导，可以得出矛盾，从而证明向量组线性无关。
示例
假设有向量组 \（ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \）：
\[
\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
\]
将其表示为矩阵：
\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
对矩阵 \（ A \） 进行初等行变换：
\[
A \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
由于变换后的矩阵每列都只有一个1，其余为0，且没有一行全为0，因此矩阵的秩为3，等于向量的个数，所以向量组 \（ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \） 线性无关。
建议
选择哪种方法取决于具体的问题和已知条件。对于方阵，使用行列式或矩阵秩的方法通常比较直观和简便。对于一般向量组，使用线性方程组或特征值的方法可能更适用。