正交矩阵的特征值之所以只能是1或-1，可以从以下几个方面进行推导：
特征值的定义
设A是正交矩阵，若存在非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的一个特征值，x为A的属于特征值λ的特征向量。
正交矩阵的性质
正交矩阵的一个重要性质是其转置矩阵等于其逆矩阵，即A^T=A^-1。根据这一性质，我们有：
\[ A^T A = A A^T = E \]
其中E是单位矩阵。
特征向量的内积
设λ是A的一个特征值，x是对应的特征向量，即Ax=λx。对等式两边取转置，得到：
\[ x^T A^T = λ x^T \]
由于A^T=A^-1，上式可以改写为：
\[ x^T A^-1 = λ x^T \]
进一步得到：
\[ A^-1 x = \frac{1}{λ} x \]
这表明，如果x是A对应于特征值λ的特征向量，那么x也是A^-1对应于特征值1/λ的特征向量。
特征值的乘积
根据特征向量的定义和正交矩阵的性质，我们有：
\[ A^T A x = λ^2 x^T x \]
由于A^T A=E，上式简化为：
\[ E x = λ^2 x^T x \]
即：
\[ x^T x = λ^2 x^T x \]
因为x是非零向量，x^T x是一个正数，所以：
\[ λ^2 = 1 \]
解得：
\[ λ = ±1 \]
综上所述，正交矩阵的特征值只能是1或-1。这一结论不仅适用于实数域上的正交矩阵，也适用于复数域上的正交矩阵。
建议
正交矩阵的特征值只能是1或-1这一结论在矩阵分析和线性代数中有着重要的应用。在实际问题中，理解这一性质有助于更好地分析正交矩阵的性质和行为。