林桑陷害唐一白的原因是她暗恋唐一白，并因为表白失败而心生怨恨。以下是具体事件的梳理：
暗恋唐一白：
林桑作为校游泳队的队医，对唐一白怀有个人感情。
营养品事件：
林桑给唐一白服用的营养品中含有违禁成分，导致唐一白尿检呈阳性，被禁赛四年。
表白失败：
林桑向唐一白表白，但遭到拒绝，这让她感到绝望。
自杀未遂：
因表白失败，林桑一时冲动选择自杀，幸而保住性命，成为植物人。
苏醒后的复仇：
林桑苏醒后，不仅为唐一白澄清了服药事件，还介入了唐一白和云朵的感情，导致云朵误会唐一白。
林梓的参与：
林桑的哥哥林梓也参与了陷害唐一白的行为，包括写文章攻击唐一白，并试图打断他的手，阻止他参加比赛。
最终的自首：
在云朵的帮助下，林梓最终意识到了自己的错误，并向警察局自首。
以上事件概述了林桑因个人情感问题而采取的一系列陷害唐一白的行为