开具父子关系证明的方法有多种，以下是一些常见的方式：
户口本
如果与父亲在同一户口簿上，且户主是父亲，则可以直接在该户口本上开具父子关系证明。
出生证
出生证上有父母亲的姓名，可以证明父子关系。
人事档案
如果与父亲未曾经在同一户口簿上，或者户主从未是父亲的情况下，可以前往人事档案托管的地方调取人事档案，查询里面关于父子关系相关的内容（如大学生毕业登记表），复印并让托管单位盖章。
派出所
可以到父母户口所在的派出所查《常住人口登记表》，复印后加盖派出所章以证明。
公证处
带齐相关证明材料，去父母户口所在地的公证处做亲属关系证明的公证。
亲子鉴定
通过做亲子鉴定证明父子关系。亲子鉴定一般有三种：司法亲子鉴定、个人隐私亲子鉴定、孕期无创亲子鉴定。建议选择司法亲子鉴定，具体流程包括准备证件材料、委托申请、现场采样、缴纳费用、实验室鉴定和出具报告。
结婚证
如果生于疾控中心成立日前的，只能去出生的医院开母子/母女的证明，再通过父母的结婚证来证明父子/父女关系。
亲属关系证明
可以是出生证、户口簿、户籍证明、单位组织人事部门的证明等，用以证实申请人与关系人的亲属关系。
委托代理
如果申请人无法亲自前往办理，则需要提供授权委托书和受托人的身份证及复印件。
特殊情况
涉及涉外、涉港澳台继承的亲属关系公证，可能需要参照国内办理继承权公证的方式来核实亲属关系。
根据以上方法，可以根据具体情况选择最合适的方式来开具父子关系证明。建议优先使用户口本和出生证，这些是最直接和常见的证明文件。如果这些文件无法提供，再考虑其他替代方案，如人事档案、派出所证明或亲子鉴定。