费马引理，也称为费马小定理，是数论中的一个重要结果，其表述为：对于任意正整数a和任意质数p，若a不是p的倍数，则a的p-1次幂减去1可以被p整除，即a^（p-1） - 1 ≡ 0 （mod p）。下面是费马引理的证明：
基础情况
当k = 1时，a^0 - 1 = 0 - 1 = -1，显然-1能被p整除（因为p是质数，所以-1是p的一个倍数）。
归纳步骤
假设对于某个k，a^k - 1能被p整除，即存在一个整数q使得a^k - 1 = pq。我们需要证明a^（k+1） - 1也能被p整除。
考虑a^（k+1） - 1 = a * a^k - 1 = a * （pq + 1） - 1 = a * pq + a - 1 = a * pq + （a - 1）。
由于a不是p的倍数，根据欧几里得引理（Euclid's Lemma），a - 1不能被p整除。因此a^（k+1） - 1是a - 1和a * pq的和，其中a - 1不能被p整除，而a * pq是p的倍数。这意味着a^（k+1） - 1也能被p整除。
结论
通过数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数k < p，a^k - 1都能被p整除。特别地当k = p - 1时，我们得到a^（p-1） - 1能被p整除，这正是费马引理的内容。
这个证明方法基于数学归纳法，通过逐步推导，从基础情况到归纳步骤，最终证明了费马引理的正确性。