一个矩阵可逆的充分必要条件如下：
行列式不为0：
矩阵的行列式（determinant）如果不为0，则矩阵可逆。行列式为0意味着矩阵是奇异的（singular），即它没有逆矩阵。
满秩：
矩阵的秩（rank）等于其阶数（即行数或列数）。如果矩阵的秩等于其阶数，则矩阵可逆。这是因为满秩矩阵意味着其行向量或列向量线性无关，从而存在一个逆矩阵使得矩阵乘法的结果为单位矩阵。
存在逆矩阵：
如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E（E为同阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，B是A的逆矩阵。
非奇异矩阵：
如果方阵的逆矩阵存在，则该方阵称为非奇异方阵或可逆方阵。
特征值全不为0：
矩阵的所有特征值都不为0时，该矩阵可逆。
等价于单位矩阵：
矩阵A如果等价于n阶单位矩阵，则A可逆。
初等矩阵的乘积：
矩阵A如果可以表示成初等矩阵的乘积，则A可逆。
线性方程组解的情况：
对于齐次线性方程组AX=0，如果方程只有零解，则矩阵A可逆；对于非齐次线性方程组AX=b，如果方程有唯一解，则矩阵A可逆。
行（列）向量组线性无关：
矩阵的行（列）向量组如果线性无关，则矩阵可逆。
任一n维向量可由行（列）向量组线性表示：
如果矩阵的每一行（列）向量都能表示为其他行（列）向量的线性组合，则矩阵可逆。
综上所述，矩阵可逆的条件可以归纳为行列式不为0、满秩、存在逆矩阵、特征值全不为0、等价于单位矩阵、可以表示为初等矩阵的乘积、线性方程组只有零解或唯一解，以及行（列）向量组线性无关等。这些条件在本质上是等价的，都指向了矩阵的逆矩阵存在这一核心概念。