要证明一个映射 \（ T \） 是否为线性变换，需要验证它是否满足线性变换的两个基本性质：加法不变性和数乘不变性。具体来说，对于任意的向量 \（ x, y \） 属于定义域，以及任意实数 \（ a, b \），线性变换 \（ T \） 必须满足：
```
T（ax + by） = aT（x） + bT（y）
```
如果上述等式对所有向量 \（ x, y \） 和所有实数 \（ a, b \） 都成立，那么 \（ T \） 就是一个线性变换。
证明步骤：
加法不变性证明
假设 \（ x \） 和 \（ y \） 是定义域中的任意向量。
根据线性变换的定义，我们需要证明 \（ T（x + y） = T（x） + T（y） \）。
直接应用线性变换的定义进行验证。
数乘不变性证明
假设 \（ x \） 是定义域中的任意向量，\（ a \） 是任意实数。
根据线性变换的定义，我们需要证明 \（ T（ax） = aT（x） \）。
直接应用线性变换的定义进行验证。
例子：
假设 \（ T \） 是将向量空间 \（ V \） 映射到向量空间 \（ W \） 的映射，且对于 \（ V \） 中的任意向量 \（ x \） 和 \（ y \），以及任意实数 \（ a \） 和 \（ b \），有：
```
T（ax + by） = aT（x） + bT（y）
T（ax） = aT（x）
```
如果上述两个等式对所有 \（ x, y \） 和 \（ a, b \） 都成立，那么 \（ T \） 就是从 \（ V \） 到 \（ W \） 的线性变换。
注意事项：
零向量在变换后仍然是零向量，即 \（ T（0） = 0 \）。
线性变换保持线性无关性不变，但不保证线性相关性不变。