收敛半径是幂级数理论中的一个重要概念，它表示幂级数在复平面上能够收敛的点的最大距离。以下是求收敛半径的几种方法：
柯西-阿达玛公式
$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$
其中，$a_n$ 是幂级数的系数。
比值判别法
$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n-1}} \right|$$
根值判别法
$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$
达朗贝尔审敛法
当幂级数的系数满足某些条件时，收敛半径 $R$ 可以通过以下公式求得：
如果幂级数的系数满足 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho$，则：
当 $\rho > 0$ 时，$R = \frac{1}{\rho}$；
当 $\rho = 0$ 时，$R = +\infty$；
当 $\rho = +\infty$ 时，$R = 0$。
端点收敛性判断
求得收敛半径后，需要单独判断端点（即圆盘边界）的收敛性，可能使用比值判别法、根号判定法等方法。
反演求解方法
如果存在发散点，可能需要使用反演求解方法（如考虑积分余项），并判断其是否仍在收敛域内。
以上方法可以帮助确定幂级数的收敛半径。需要注意的是，收敛域可能是一个圆盘、圆环、线段、线、曲线甚至整个复平面