求矩阵的特征向量通常需要以下步骤：
求特征值
首先，需要求出矩阵的特征值。这通常通过求解特征多项式 $|A - \lambda E| = 0$ 来实现，其中 $A$ 是待求特征向量的矩阵，$\lambda$ 是特征值，$E$ 是单位矩阵。
求特征向量
对于每一个特征值 $\lambda$，求解齐次线性方程组 $（A - \lambda E）X = 0$。这个方程组的基础解系就是对应于该特征值的特征向量。
具体地，将每个特征值 $\lambda$ 代入方程 $（A - \lambda E）X = 0$，求解该方程得到所有非零解，这些解构成对应于该特征值的特征向量空间。
验证和组合
得到的特征向量可能不是唯一的，它们可以线性组合成同一特征值对应的特征空间中的任意向量。
对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量是正交的。
示例
假设有一个 $3 \times 3$ 矩阵 $A$，我们要求其特征值和特征向量。
求特征值
计算特征多项式 $|A - \lambda E| = 0$，例如：
$$
\begin{vmatrix}
1 - \lambda & 2 & 3 \\
4 & 1 - \lambda & -1 \\
6 & -2 & 1 - \lambda
\end{vmatrix} = 0
$$
解这个特征多项式得到特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$。
求特征向量
对于每个特征值 $\lambda_i$，求解方程组 $（A - \lambda_i E）X = 0$，例如：
当 $\lambda_1 = 2$ 时，解方程组：
$$
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 3 \\
4 & -1 & -1 \\
6 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
得到基础解系，例如 $v_1 = （1, -2, 1）^T$。
组合特征向量
对每个特征值，其特征向量可以表示为基础解系的线性组合，例如：
对于 $\lambda_1 = 2$，特征向量为 $c_1 v_1$，其中 $c_1$ 是任意非零常数。
通过以上步骤，可以求得矩阵 $A$ 的所有特征值及其对应的特征向量。