证明一个函数在某点连续，需要满足以下三个条件：
1. 函数在该点要有定义。
2. 函数在该点的极限存在，即左极限等于右极限。
3. 函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
用数学语言表示，如果函数 \（ f \） 在点 \（ x_0 \） 的某个邻域内有定义，并且满足：
\[ \lim_{x \to x_0} f（x） = f（x_0） \]
则称函数 \（ f \） 在点 \（ x_0 \） 连续。
证明函数连续的具体方法可能包括：
使用极限的定义，即对于任意给定的正数 \（ \epsilon \），存在正数 \（ \delta \），使得当 \（ |x - x_0| < \delta \） 时，有 \（ |f（x） - f（x_0）| < \epsilon \）。
利用ε-δ定义直接证明。
对于分段函数，检查每个分段点处的左极限和右极限是否相等，并且是否等于该点的函数值。
对于多元函数，可能需要使用夹逼定理或其他高级数学工具来证明。
需要注意的是，连续性是一个局部性质，即函数在某一点连续并不意味着它在整个定义域上都连续。要证明函数在整个定义域上连续，需要对定义域内的每一个点重复上述证明过程。