妨碍公务的刑事拘留期限通常为最长37天。具体来说：
1. 公安机关在拘留犯罪嫌疑人后，必须在3日内提请人民检察院审查批准逮捕。
2. 在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长1至4日。
3. 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至30日。
4. 人民检察院在接到公安机关提请批准逮捕书后的7日内，必须作出批准逮捕或不批准逮捕的决定。
5. 如果人民检察院不批准逮捕，公安机关应当在接到通知后立即释放犯罪嫌疑人。
需要注意的是，这些规定基于《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条。