要证明一个函数在某区间上处处可导，通常需要遵循以下步骤：
证明函数在该区间上连续
连续的定义是，对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，有 |f（x） - f（x0）| < ε。
如果函数在某一点的极限值等于函数值，则该函数在该点连续。
证明函数在该区间的每一点都可导
根据导数的定义，函数在某一点可导意味着极限[f'（x0）] = lim（x->x0） [f（x）-f（x0）] / （x-x0）存在。
对于区间内的任意一点x0，需要证明左导数和右导数都存在且相等。
特殊情况的处理
如果函数是分段函数，需要分别计算每个分段的左右导数，并证明它们存在且相等。
对于满足特定性质的函数（如指数函数、对数函数等），可以直接利用已知的导数公式进行证明。
注意事项
如果函数在某点不连续，则它在该点一定不可导。
可导的函数一定是连续的，但连续的函数不一定可导。
以上步骤概括了证明函数处处可导的基本方法。对于具体的函数，可能需要结合其性质和已知的导数公式进行详细分析。
如果您有特定的函数需要证明可导，请提供函数表达式，我可以帮助您进行详细的证明过程