证明一个函数有界通常需要考虑函数的定义域和值域，并利用以下方法：
数学定义法
找到函数的定义域内的上界和下界，即存在常数M和N，使得对所有x∈定义域，有M ≥ f（x） ≥ N。
连续函数法
如果函数在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数有界的定理，函数在该区间上一定有界。
极限分析法
分析函数在无穷远处的极限，如果极限存在且有限，则函数通常是有界的。
运算规则判定
利用有界函数的运算性质，例如两个有界函数的和、差、积仍然是有界的。
导数分析法
对于连续函数，分析其导数可以确定有界性。如果导数有上下限，则原函数通常也是有界的。
反证法
假设函数无上界，则对任意正数M，存在x'使得f（x'） > M，通过构造序列并利用致密性定理等方法证明矛盾，从而证明函数有界。
使用数学工具
对于特定类型的函数，如三角函数，可以利用其性质来确定其周期性和有界性。
确保使用严密的数学推导和逻辑来支持证明。需要注意的是，函数在某区间上要么有界要么无界，二者必属其一