期望值（Expected Value）是指在概率论和统计学中，一个随机变量的所有可能取值按照其发生的概率加权的平均值。对于离散型随机变量，期望值是所有可能结果与其对应概率的乘积之和。对于连续型随机变量，期望值则是所有可能取值与其概率密度函数的乘积在整个定义域上的积分。
离散型随机变量的期望值计算公式
对于离散型随机变量 \（ X \），其期望值 \（ E（X） \） 的计算公式为：
\[ E（X） = \sum_{i=1}^{n} （x_i \cdot P（x_i）） \]
其中，\（ x_i \） 是随机变量 \（ X \） 可能取的每一个值，\（ P（x_i） \） 是 \（ x_i \） 对应的概率，\（ n \） 是可能结果的总数。
连续型随机变量的期望值计算公式
对于连续型随机变量 \（ X \），其期望值 \（ E（X） \） 的计算公式为：
\[ E（X） = \int_{-\infty}^{\infty} （x \cdot f（x）） \, dx \]
其中，\（ x \） 是随机变量 \（ X \） 可能取的每一个值，\（ f（x） \） 是 \（ x \） 对应的概率密度函数。
例子
假设有一个抽奖活动，奖品金额和对应的概率如下：
300元，概率0.2
100元，概率0.8
根据期望值的计算公式，该人抽取票的期望值为：
\[ E = 300 \times 0.2 + 100 \times 0.8 = 60 + 80 = 140 \text{元} \]
实际应用
期望值在许多实际应用中都有重要作用，例如在投资决策、风险管理、市场预测等领域。通过计算期望值，可以评估不同策略的潜在收益和风险，从而做出更合理的决策。
总结
期望值是概率论中的一个重要概念，它提供了一种量化随机变量可能结果的方法。通过计算期望值，可以对不确定性和风险进行度量和分析，帮助人们做出更明智的决策。