方向余弦是 向量在三维空间中三个正交坐标轴上的投影的比值，用于描述向量的方向。具体来说，对于一个三维向量 $\mathbf{v} = （v_x, v_y, v_z）$，其方向余弦 $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ 分别是向量 $\mathbf{v}$ 在 x 轴、y 轴和 z 轴上投影的余弦值。计算公式如下：
\[
\cos \alpha = \frac{v_x}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}}, \quad \cos \beta = \frac{v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}}, \quad \cos \gamma = \frac{v_z}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}}
\]
其中，$\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ 是向量 $\mathbf{v}$ 的模长。
方向余弦具有以下性质：
1. 所有方向余弦的平方和等于1，即 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$。
2. 方向余弦矩阵是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵，用于表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系，也可以用来表达一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦。
方向余弦在解析几何、向量分析和空间力学等领域有广泛应用，例如在计算两个向量之间的夹角、确定物体的相对方位等。