要证明一个函数在某一点的导数存在，需要满足以下几个条件：
函数在该点有定义 ：即函数在x0处有定义，f（x0）存在。函数在该点连续：
即f（x）在x0处的左极限、右极限以及函数值f（x0）三者相等，即：
$\lim_{{x \to x_0^-}} f（x） = f（x0）$
$\lim_{{x \to x_0^+}} f（x） = f（x0）$
函数在该点的左右导数存在且相等：
即：
$f'（x_0^-） = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f（x_0 + h） - f（x_0）}{h}$
$f'（x_0^+） = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f（x_0 + h） - f（x_0）}{h}$
并且 $f'（x_0^-） = f'（x_0^+）$
只有以上三个条件都满足，才能证明函数在x0处可导。
例子
考虑函数 $f（x） = |x|$ 在 $x = 0$ 处的导数。
函数在该点有定义：
$f（0） = 0$ 存在。
函数在该点不连续
$\lim_{{x \to 0^-}} f（x） = 0$
$\lim_{{x \to 0^+}} f（x） = 0$
但 $\lim_{{x \to 0}} f（x） = 0$ 仍然成立，所以这一点不满足连续性的要求。
由于函数在 $x = 0$ 处不连续，根据导数的定义，它的导数在该点不存在。
总结
要证明一个函数在某一点的导数存在，必须严格满足函数在该点有定义、连续且左右导数存在且相等。任何一项不满足，导数都无法在该点存在。