边缘概率密度是指多维随机变量中某个维度的概率密度。对于二维随机变量（X,Y），其边缘概率密度可以通过以下步骤求得：
确定变量的取值范围 ：首先需要明确随机变量X和Y的取值范围，即x和y的取值区间。对联合概率密度函数积分
对Y积分得到X的边缘概率密度函数\（f_X（x）\）：
\[
f_X（x） = \int_{-\infty}^{\infty} f（x,y） \, dy
\]
对X积分得到Y的边缘概率密度函数\（f_Y（y）\）：
\[
f_Y（y） = \int_{-\infty}^{\infty} f（x,y） \, dx
\]
例子
假设有一个二维随机变量（X,Y），其联合概率密度函数为：
\[
f（x,y） = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{1}{2}[（x-1）^2 + （y-2）^2]}
\]
这是一个二维正态分布的联合概率密度函数，其中均值向量为（1,2），协方差矩阵为单位矩阵。
确定变量的取值范围：
假设x和y的取值范围都是实数集\（-\infty, \infty\）。
对联合概率密度函数积分
对Y积分得到X的边缘概率密度函数：
\[
f_X（x） = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{1}{2}[（x-1）^2 + （y-2）^2]} \, dy
\]
这是一个高斯积分，结果为：
\[
f_X（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{（x-1）^2}{2}}
\]
对X积分得到Y的边缘概率密度函数：
\[
f_Y（y） = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{1}{2}[（x-1）^2 + （y-2）^2]} \, dx
\]
这也是一个高斯积分，结果为：
\[
f_Y（y） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{（y-2）^2}{2}}
\]
总结
边缘概率密度的求法主要是通过对联合概率密度函数在另一个变量方向上进行积分。对于更高维度的随机变量，可以通过类似的方法，逐步积分得到每一维的边缘概率密度。
建议
在实际应用中，如果遇到复杂的联合概率密度函数，可以使用数值积分方法来求解边缘概率密度。同时，确保积分的上下限选择正确，以保证边缘概率密度满足概率密度函数的归一化条件，即其积分值必须为1。