矩阵的特征值可以通过以下步骤来求解：
构造特征方程
对于一个 \（ n \times n \） 的矩阵 \（ A \），其特征方程为 \（ \det（A - \lambda I） = 0 \），其中 \（ I \） 是 \（ n \times n \） 的单位矩阵， \（ \lambda \） 是特征值。
求解特征方程
解上述方程，得到的解即为矩阵 \（ A \） 的特征值。这个方程是一个关于 \（ \lambda \） 的 \（ n \） 次方程，可以使用数值方法（如幂法、QR算法等）来求解。
计算特征向量
对于每一个特征值 \（ \lambda_i \），将 \（ \lambda_i \） 代入方程 \（ （A - \lambda_i I） \mathbf{v} = 0 \），求解这个线性方程组，得到对应的非零解 \（ \mathbf{v} \），即为属于特征值 \（ \lambda_i \） 的特征向量。
示例
假设有一个 \（ 2 \times 2 \） 的矩阵 \（ A \）：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]
构造特征方程
\[ \det（A - \lambda I） = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = （1 - \lambda）（4 - \lambda） - （2 \cdot 3） = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \]
求解特征方程
\[ \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \]
使用求根公式：
\[ \lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \]
所以，特征值为 \（ \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \） 和 \（ \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \）。
计算特征向量
对于 \（ \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \）：
\[ （A - \lambda_1 I） \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
解得 \（ y = \frac{2}{5 + \sqrt{33}} x \），取 \（ x = 1 \），则特征向量为 \（ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2}{5 + \sqrt{33}} \end{pmatrix} \）。
对于 \（ \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \）：
\[ （A - \lambda_2 I） \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
解得 \（ y = \frac{2}{5 - \sqrt{33}} x \），取 \（ x = 1 \），则特征向量为 \（ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2}{5 - \sqrt{33}} \end{pmatrix} \）。
总结
通过构造特征方程并求解，可以得到矩阵的所有特征值，然后通过代入原方程组求解对应的特征向量。对于大型矩阵，可能需要使用数值方法来高效地计算特征值和特征向量。