根号3的近似值是1.732。这个值是一个无理数，意味着它的小数部分是无限不循环的。手算根号3的方法通常涉及逼近法，例如牛顿迭代法，这是一种寻找函数零点的迭代方法，也经常用来计算平方根。
如果你想通过手算得到更精确的值，可以遵循以下步骤：
1. 确定根号3位于哪两个整数之间。由于 \（1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2\），所以根号3位于1和2之间。
2. 将区间（1,2）不断二分，每次取中点，计算中点的平方与3的关系，以缩小根号3的可能范围。
3. 重复步骤2，直到达到所需的精度。
例如，从区间（1,2）开始，取中点1.5，计算 \（1.5^2 = 2.25\），由于 \（2.25 > 3\），所以根号3位于（1,1.5）之间。然后对（1,1.5）进行同样的操作，取中点1.25，计算 \（1.25^2 = 1.5625\），由于 \（1.5625 < 3\），所以根号3位于（1.25,1.5）之间。重复此过程，直到得到满意的精度为止。
请注意，手算平方根是一个繁琐且容易出错的过程，通常计算器或电脑程序能提供更精确的结果。