要证明一个函数在某点连续，需要满足以下三个条件：
1. 函数在该点有定义；
2. 函数在该点的左极限和右极限都存在；
3. 函数在该点的左极限等于右极限，并且这个共同的极限值等于函数在该点的函数值。
数学上，这可以通过ε-δ定义来严格证明。具体步骤如下：
对于给定的点 \（ c \） 和任意小的正数 \（ \epsilon > 0 \），我们需要找到一个正数 \（ \delta > 0 \），使得当 \（ |x - c| < \delta \） 时，有 \（ |f（x） - L| < \epsilon \），其中 \（ L \） 是函数在点 \（ c \） 的极限值。
如果对于所有的 \（ x \） 在点 \（ c \） 的某个邻域内，上述条件都成立，那么我们可以说函数 \（ f \） 在点 \（ c \） 是连续的。
此外，还可以通过图像法来直观判断函数的连续性：如果函数的图像在点 \（ c \） 处是连续的，没有断开，那么函数在该点也是连续的。
对于分段函数，需要检查每个分段点处的左右极限是否相等，并且是否等于该点的函数值。
以上是证明函数连续的基本方法。