证明圆周率是无理数的方法有多种，这里介绍几种常用的方法：
反证法
假设圆周率π是一个有理数，可以表示为两个互质整数a和b的比值，即π = a/b。
通过圆的性质和数学推导，得出矛盾，从而证明π是无理数。
基于多边形的逼近法
通过不断增加圆内接多边形的边数，计算多边形的周长，逼近圆的周长。
当多边形的边数趋于无穷大时，多边形的周长与圆的周长的比值趋于π，从而证明π是无理数。
三角函数展开法
利用三角函数的泰勒级数展开，特别是tan（x）的连分数展开。
通过证明tan（π/4） = 1，进而证明π/4是无理数，最终证明π是无理数。
积分法
构造特定的函数f（x），通过对其求导和积分，利用反证法证明积分结果应为整数，从而得出π是无理数。
代数数论方法
利用代数数的性质，特别是超越数的定义和柳维尔定理，证明π不能表示为两个整数的比值，从而证明π是无理数。
这些方法各有侧重，但都通过不同的途径证明了圆周率π是无理数。其中，反证法和三角函数展开法是较为直观和常用的方法。