判断函数的单调性主要有以下几种方法：
定义法
基本原理：根据函数单调性的定义，如果在某区间内，对于任意的$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f（x_1） \leq f（x_2）$（或$f（x_1） \geq f（x_2）$），则称函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
步骤：
1. 在指定区间内任取两个数$x_1$和$x_2$，且$x_1 < x_2$。
2. 计算$f（x_1）$和$f（x_2）$的差，即$f（x_1） - f（x_2）$。
3. 对差进行变形（如因式分解、配方等），以便判断其正负性。
4. 根据差的正负性，结合单调性的定义，判断函数在该区间内的单调性。
导数法
基本原理：利用导数的正负性来判断函数的单调性。若函数的导函数在某区间内非负（非正），则函数在该区间内单调不降（不增）；若导函数在某区间内为正（负），则函数在该区间内单调递增（递减）。
步骤：
1. 对函数进行求导，得到导函数。
2. 令导函数等于零，求出可能的极值点（这些点可能是单调性改变的点）。
3. 判断导函数在指定区间内的正负性，从而确定函数的单调性。
图像法
基本原理：通过观察函数图像的上升或下降趋势来判断函数的单调性。如果图像在某区间内一直上升（或下降），则函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
步骤：
1. 画出函数的图像（或利用已有的图像）。
2. 观察图像在指定区间内的上升或下降趋势。
3. 根据观察结果，判断函数在该区间内的单调性。
复合函数同增异减法
基本原理：对于复合函数$f[g（x）]$，其单调性取决于内层函数$g（x）$和外层函数$f（x）$的单调性。若内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性相反时为减函数。
步骤：
1. 考虑复合函数$f[g（x）]$的定义域。
2. 利用内层函数$t = g（x）$和外层函数$y = f（t）$确定函数$f[g（x）]$的单调性，法则为“同增异减”。
建议
在实际应用中，可以根据函数的类型和已知条件选择合适的方法。对于初等函数，通常可以通过定义法和图像法来判断其单调性；对于复杂函数或需要更精确判断的情况，可以使用导数法。复合函数的单调性判断则需要综合运用上述方法。