矩阵的初等因子可以通过以下步骤求得：
求特征多项式：
首先，计算给定矩阵的特征多项式，即求解矩阵的特征值。
化为对角形式：
使用初等变换将特征矩阵化为对角形式，即Smith对角型。在对角矩阵中，对角线上的元素即为矩阵的不变因子。
因式分解：
对每个不变因子进行因式分解，分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积。
计算初等因子：
所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是矩阵的初等因子。
例如，对于给定的三角矩阵，其行列式即为对角线上元素的乘积，也是其不变因子。对这些不变因子进行因式分解后，即可得到初等因子。
需要注意的是，如果初等因子的个数少于矩阵的阶数，需要在后面补上适当个数的1，以确保初等因子的个数与矩阵阶数一致。