叉乘，也称为向量的外积或向量积，是一种在向量空间中定义的二元运算，其结果是一个向量。对于两个三维向量 \（\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）\） 和 \（\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）\），它们的叉乘 \（\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}\） 的计算公式如下：
\[
\mathbf{c} = （c_1, c_2, c_3） = （a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1）
\]
其中，\（c_1\）、\（c_2\） 和 \（c_3\） 分别是向量 \（\mathbf{c}\） 的 x、y 和 z 分量。
计算方法
确定向量分量
首先，明确两个向量的分量，例如 \（\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）\） 和 \（\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）\）。
应用叉乘公式
使用上述公式计算结果向量的分量：
\[
c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
\]
\[
c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
\]
\[
c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
\]
确定结果向量的方向和模
根据右手定则确定结果向量的方向：
将右手的食指指向向量 \（\mathbf{a}\） 的方向，中指指向向量 \（\mathbf{b}\） 的方向。
大拇指所指的方向就是向量 \（\mathbf{c}\） 的方向。
使用模的公式计算其大小：
\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{（a_2 b_3 - a_3 b_2）^2 + （a_3 b_1 - a_1 b_3）^2 + （a_1 b_2 - a_2 b_1）^2}
\]
例子
假设有两个向量 \（\mathbf{a} = （1, 0, 0）\） 和 \（\mathbf{b} = （0, 1, 0）\），则它们的叉乘为：
\[
\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = （0, 0, 1）
\]
几何意义
叉乘的几何意义在于它求出的向量 \（\mathbf{c}\） 垂直于向量 \（\mathbf{a}\） 和 \（\mathbf{b}\） 所在的平面，并且其方向由右手定则确定。此外，叉乘的结果向量的模等于向量 \（\mathbf{a}\） 和 \（\mathbf{b}\） 构成的平行四边形的面积。
其他性质
反交换律
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}
\]
分配律
\[
\mathbf{a} \times （\mathbf{b} + \mathbf{c}） = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}
\]
\[
（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}
\]
与零向量的叉乘
\[
\mathbf{a} \times 0 = 0
\]
通过以上步骤和性质，可以清晰地理解和计算两个三维向量的叉乘。