求方程组的通解通常涉及以下步骤：
构建增广矩阵
将线性方程组转化为增广矩阵的形式，即[A|b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
行初等变换
对增广矩阵进行一系列的行初等变换，包括交换两行、用非零常数乘以某行、以及用非零常数乘以某行后加到另一行，使其化为行简化梯阵形式或行最简形式。
确定自由变量和基础解系
在行简化梯阵形式的增广矩阵中，主元列所对应的未知数为基础变量，其它未知数为自由变量。自由变量可以任意取值，而基础变量的值由自由变量决定。
令自由变量中一个为1，其余为0，求得n–r个解向量，即为一个基础解系。
构造通解
根据基础解系和自由变量，可以构造出线性齐次方程组的通解。通解的一般形式为：x = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₖvₖ，其中c₁, c₂, ..., cₖ为任意常数，v₁, v₂, ..., vₖ为基础解系的特解。
考虑非齐次方程组
对于非齐次线性方程组，除了上述步骤外，还需要找到非齐次方程组的一个特解，并将其加到齐次方程组的通解中，从而得到非齐次方程组的通解。
示例
假设有如下线性方程组：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
4x - y = 11
\end{cases}
\]
构建增广矩阵
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
2 & 3 & 8 \\
4 & -1 & 11
\end{array}
\right]
\]
行初等变换
用第二行减去第一行的两倍，得到：
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
2 & 3 & 8 \\
0 & -7 & -5
\end{array}
\right]
\]
交换第一行和第二行，得到：
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
0 & -7 & -5 \\
2 & 3 & 8
\end{array}
\right]
\]
用第一行乘以-1/7，得到：
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
0 & 1 & \frac{5}{7} \\
2 & 3 & 8
\end{array}
\right]
\]
用第二行减去第一行的三倍，得到：
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
0 & 1 & \frac{5}{7} \\
0 & 0 & \frac{19}{7}
\end{array}
\right]
\]
确定自由变量和基础解系
自由变量为y，基础解系为[1, -5/7]。
构造通解
\[
x = 0 \cdot \frac{5}{7} - \frac{5}{7}y = -\frac{5}{7}y
\]
考虑非齐次方程组
假设有一个特解y*，则非齐次方程组的通解为：
\[
x = -\frac{5}{7}y + y*
\]
通过以上步骤，可以求得方程组的通解。建议在实际应用中，使用数学软件如MATLAB或Python的NumPy库来辅助计算，以确保准确性和效率。