要证明一个函数在某点可微，通常需要以下几个步骤：
求偏导数
首先，需要求出函数对各个自变量的偏导数。偏导数表示函数在某一点上，当其他变量保持不变时，函数值随某一变量变化的速率。
验证偏导数的存在性
确保偏导数在给定点的邻域内存在，并且在该点连续。这是函数在该点可微的必要条件。
应用可微的定义
根据可微的严格定义，如果存在常数 \（ A \） 和 \（ \delta > 0 \），使得当 \（ \Delta x \to 0 \） 时，有
\[
\Delta y = A \Delta x + o（\Delta x）
\]
其中 \（ o（\Delta x） \） 是 \（ \Delta x \） 的高阶无穷小，即
\[
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o（\Delta x）}{\Delta x} = 0
\]
那么函数 \（ f（x） \） 在点 \（ x_0 \） 处可微，并且微分 \（ dy \） 为 \（ A \Delta x \）。
使用极限验证
通过计算极限
\[
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f（x_0 + \Delta x） - f（x_0）}{\Delta x}
\]
如果这个极限存在并且等于 \（ f'（x_0） \），则函数在该点可微。
示例
假设我们有一个二元函数 \（ f（x, y） \），并且我们想要证明它在点 \（ （x_0, y_0） \） 处可微。
求偏导数
计算 \（ f \） 对 \（ x \） 和 \（ y \） 的偏导数 \（ f_x（x, y） \） 和 \（ f_y（x, y） \）。
验证偏导数的存在性和连续性
确保 \（ f_x（x, y） \） 和 \（ f_y（x, y） \） 在点 \（ （x_0, y_0） \） 的邻域内存在，并且在该点连续。
应用可微的定义
假设存在常数 \（ A \） 和 \（ B \），使得
\[
\Delta y = A \Delta x + B \Delta y + o（\Delta y）
\]
其中 \（ o（\Delta y） \） 是 \（ \Delta y \） 的高阶无穷小。
使用极限验证
计算极限
\[
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f（x_0 + \Delta x, y_0） - f（x_0, y_0）}{\Delta x} = A
\]
如果这个极限存在并且等于 \（ f_x（x_0, y_0） \），则函数 \（ f（x, y） \） 在点 \（ （x_0, y_0） \） 处可微。
通过以上步骤，我们可以证明一个函数在某点是否可微。需要注意的是，可微性通常意味着函数在该点的行为比较光滑，并且可以用线性函数来近似其局部行为。