矩阵的特征值可以通过以下步骤计算:
构造特征方程
对于一个n阶方阵A,其特征方程是`det(A - λI) = 0`,其中`I`是单位矩阵,`det`表示行列式,`λ`是特征值。
求解特征方程
解上述方程,得到的解即为矩阵A的特征值。
计算特征向量
将每个特征值`λ`代入方程`(A - λI)x = 0`,求解线性方程组,得到对应的特征向量。
特征值是矩阵的特征多项式的根,特征多项式是一个关于`λ`的n次多项式,其中n是矩阵的阶数。在复数域内,特征多项式最多有n个根,包括重根。
如果矩阵较小,可以使用符号演算进行计算;对于大型矩阵,通常需要采用数值方法,如幂法、QR算法等。