向量积，也称为叉积，是一种在向量空间中定义的二元运算，其结果是一个向量。向量积主要应用于物理学、光学和计算机图形学等领域。给定两个三维向量 \（\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）\） 和 \（\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）\），它们的向量积 \（\mathbf{a} \times \mathbf{b}\） 定义为：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left（ a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 \right）
\]
此外，向量积的模长可以通过以下公式计算：
\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta
\]
其中，\（\theta\） 是向量 \（\mathbf{a}\） 和 \（\mathbf{b}\） 之间的夹角，且结果向量的方向遵循右手定则。
例子
假设有两个向量 \（\mathbf{a} = （2, 3, 4）\） 和 \（\mathbf{b} = （1, 2, 3）\），则它们的向量积为：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left（ 3 \cdot 3 - 4 \cdot 2, 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3, 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 \right） = （3 - 8, 4 - 6, 4 - 3） = （-5, -2, 1）
\]
因此，向量 \（\mathbf{a} \times \mathbf{b}\） 是 \（（-5, -2, 1）\）。
总结
向量积的计算公式是：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left（ a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 \right）
\]
其模长公式为：
\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta
\]
结果向量的方向由右手定则确定。